二分搜索与散列法：程序设计竞赛中的效率之道

《挑战程序设计竞赛》笔记

二分搜索：效率之道的艺术

在程序设计竞赛的世界里，时间是最宝贵的资源。二分搜索，这一经典的算法，正如一把精准的利剑，能够在数据的海洋中迅速找到目标。它的核心思想是：将数据排序后，通过不断缩小搜索范围，将复杂度从线性的O(n)降低到对数级的O(log n)。这不仅是一种算法，更是一种思维方式，是程序设计中追求效率的集中体现。

在《挑战程序设计竞赛》中，作者通过一个具体的例子向我们展示了二分搜索的魅力。假设我们有一个包含14个元素的数组，元素按升序排列，我们需要找到目标值36。二分搜索的过程如下：

1. 初始化搜索范围，left=0，right=14。
2. 计算中间位置mid=(0+14)/2=7，比较A[7]=86与36。
3. 由于36<86，将right=7，缩小搜索范围到0-6。
4. 再次计算mid=(0+7)/2=3，比较A[3]=36，找到目标值。

通过这种方式，二分搜索在最坏情况下只需7次比较，就能完成任务。而线性搜索在最坏情况下需要14次比较。这种效率的提升是程序设计竞赛中不可或缺的关键。

二分搜索的伪代码如下：

Program5.3二分搜索 binarySearch(A，key)
2 left=0
3 right=n
4 while left < right
5 mid=(left+right)/2
6 if A[mid]==key
7 return mid
8 else if key < A[mid]
9 right = mid
10 else
11 left = mid + 1
12 return NOT_FOUND

这个算法的实现虽然简单，但其背后的思想却深刻地影响了程序设计的发展方向。

散列法：高效搜索的艺术

在程序设计竞赛中，散列法是一种更为高效的搜索算法。它通过将数据映射到数组中的特定位置，从而实现O(1)的平均时间复杂度。散列法的核心在于散列函数的设计，这决定了数据在数组中的分布情况。

作者在书中通过一个具体的例子向我们展示了散列法的实现过程。假设我们有一个包含m个元素的数组T，以及一个散列函数h(k)=k mod m。当我们需要插入或搜索数据时，通过计算散列值h(k)即可快速定位数据的位置。

然而，散列法也面临一个挑战：冲突问题。不同的关键字可能会映射到同一个位置，这会导致搜索效率下降。为了解决这个问题，作者介绍了一种开放地址法，即当发生冲突时，通过第二个散列函数计算新的散列值，直找到一个空位为止。

散列法的伪代码如下：

Program5.4散列表的实现（简单实现）
1 insert(data)
2 T[h(data.key)]=data
3
4 search(data)
return T[h(data.key)]

这个算法的实现看似简单，但其背后的思想却深刻地影响了程序设计的发展方向。

现代应用中的算法

在现代程序设计中，二分搜索和散列法已经被广泛应用于各种场景。例如，在数据库查询中，二分搜索被用于快速定位数据记录；在Web搜索引擎中，散列法被用于高效管理和查询关键字。

以下是一个具体的案例：

假设我们有一个包含1，000，000个元素的数组，使用二分搜索和线性搜索来比较效率：

从表中可以看出，二分搜索的效率远高于线性搜索。这种效率的提升在程序设计竞赛中尤为重要，因为每一次比较操作都可能决定胜负。

总结

《挑战程序设计竞赛》通过二分搜索和散列法这两个经典算法，向我们展示了程序设计中追求效率的重要性。无论是二分搜索的对数级复杂度，还是散列法的常数级复杂度，这些算法都在现代程序设计中发挥着重要作用。

在程序设计竞赛中，时间是最宝贵的资源。通过选择合适的算法，我们可以在有限的时间内完成更多的任务，从而在竞赛中占据优势。二分搜索和散列法的实现，不仅是技术的体现，更是思维的提升。

希望通过这篇笔记，读者能够更好地理解这些经典算法，并在程序设计竞赛中发挥出色。